作品思想

《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后中国数学着作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例着书；甚至西算传入中国之后，人们着书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入九章的框架。 然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没有给出任何推导和证明。魏景元四年，刘徽给《九章算术》作注，,才大大弥补了这个缺陷。

刘徽是中国数学家之一。他的生平知之甚少。据考证，他是山东邹平人。刘徽定义了若干数学概念，全面论证了《九章算术》的公式解法，提出了许多重要的思想、方法和命题，他在数学理论方面成绩斐然。

刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭示了概念的本质，基本符合现代逻辑学和数学对概念定义的要求。而且他使用概念时亦保持了其同一性。如他提出凡数相与者谓之率，把率定义为数量的相互关系。又如他把正负数定义为今两算得失相反，要令正负以名之，摆脱了正为余，负为欠的原始观念，从本质上揭示了正负数得失相反的相对关系。

《九章算术》的算法尽管抽象，但相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化了中算中久已使用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪。许多问题，只要找出其中的各种率关系，通过乘以散之，约以聚之，齐同以通之，都可以归结为今有术求解。

一平面图形经过平移或旋转，其面积不变。把一个平面图形分解成若干部分，各部分面积之和与原图形面积相等。基于这两条不言自明的前提的出入相补原理，是中国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。刘徽发展了出入相补原理，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。

数学成就

《九章算术》中的数学成就是多方面的：

、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和盈不足算法。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。盈不足的算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为双设法，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的。

《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数等等。其步骤与方法大体与现代的雷同。

分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。加法的步骤是母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一这里实是分子。法是分母，实如法而一也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现不满法者，以法命之。就是分子小于分母时便以分数形式保留。其二是其母同者，直相从之，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。

《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。求最大公约数的方法称为更相减损法，其具体步骤是可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。这里所说的等数就是我们现在的最大公约数。可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2。不都是偶数了，则另外摆分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数。

在《九章算术》的第二、三、六等章内，广泛地使用了各种比例解应用问题。粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下：粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，……这是说：谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……。例如，粟米章第一题：今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何。它的解法是：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。

《九章算术》第七章盈不足专讲盈亏问题及其解法其中第一题：今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数、物价各几何，答曰：七人，物价53。盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法而一……置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数。盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开生面的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位。盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家，,受到特别重视，被称为契丹算法，后来又传入欧洲，中世纪时期双设法曾长期统治了他们的数学王国。

、《九章算术》总结了生产、生活实践中大量的几何知识，在方田、商功和勾股章中提出了很多面积、体积的计算公式和勾股定理的应用。

《九章算术》方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法。《九章算术》方田章第一题今有田广十五步，从十六步。问为田几何。答曰：一亩。这里广就是宽，从即纵，指其长度，方田术曰：广从步数相乘得积步，以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。当时称长方形为方田或直田。称三角形为圭田，面积公式为术曰：半广以乘正从。这里广是指三角形的底边，正从是指底边上的高，刘徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明：半广者，,以盈补虚，为直田也。亦可以半正从以乘广。盈是多余，虚乃不足。以盈补虚就是以多余部分填补不足的部分，这就是我国古代数学推导平面图形面积公式所用的传统的出入相补的方法，由上图以盈补虚变圭田为与之等积的直田，于是得到了圭田的面积计算公式。

方田章第二十七、二十八题把直角梯形称为邪田它的面积公式是：术曰：并两邪而半之，以乘正从……，又可半正从……以乘并。刘徽在注中说明他的证法仍是出入相补法。在方田章第二十九、三十题把一般梯形称为箕田，上、下底分别称为舌、踵，面积公式是：术曰：并踵舌而半之，以乘正从。

至于圆面积，在《九章算术》方田章第三十一、三十二题中，它的面积计算公式为：半周半径相乘得积步。这里周是圆周长，径是指直径。这个圆面积计算公式是正确的。只是当时取径一周三。于是由此计算所得的圆面积就不够精密。

《九章算术》商功章收集的都是一些有关体积计算的问题。但是商功章并没有论述长方体或正方体的体积算法。看来《九章算术》是在长方体或正方体体积计算公式：V=abc的基础上来计算其他立体图形体积的。

《九章算术》商功章提到城、垣、堤、沟、堑、渠，因其功用不同因而名称各异，其实质都是正截面为等腰梯形的直棱柱，他们的体积计算方法：术曰：并上、下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。这里上、下广指横截面的上、下底高或深，袤是指城垣……的长。因此城、垣…的体积计算术公式V=1/2h.

刘徽在注释中把对于平面图形的出入相补原理推广应用到空间图形，成为损广补狭以证明几何体体积公式。

刘徽还用棋验法来推导比较复杂的几何体体积计算公式。所谓棋验法，棋是指某些几何体模型即用几何体模型验证的方法，例如长方体本身就是棋[图1－32

《九章算术》商功章还有圆锥、圆台的体积计算公式。甚至对三个侧面是等腰梯形，其他两面为勾股形的五面体[图1－33

柱体以及上底为一线段，下底为一矩形的拟柱体等都可以计算其体积。

、《九章算术》中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先进水平。

1．开平方和开立方

《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤基本一样。所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，今有积五万五千二百二十五步。问为方几何。答曰：二百三十五步。这里所说的步是我国古代的长度单位。

开方术曰：置积为实借一算。步之超一等。议所得（指议得初商，由于实的万位数字是5，而且22

上述由图1－25—是按算筹进行演算的，看起来似乎很繁琐，实际上步骤十分清楚，易于操作。它的开平方原理与现代开平方原理相同。其中借算的右移、左移在现代的观点下可以理解为一次变换和代换。《九章算术》时代并没有理解到变换和代换，但是这对以后宋、元时期高次方程的解法是有深远影响的。

《九章算术》方程章中的方程是专指多元一次方程组而言，与方程的含义并不相同。《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成方阵。消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换。

由于《九章算术》在用直除法解一次方程组过程中，不可避免地要出现正负数的问题，于是在方程章第三题中明确提出了正负术。刘徽在该术的注文里实质上给出了正、负数的定义：两算得失相反，要令‘正'、‘负'以名之。并在计算工具即算筹上加以区别正算赤，负算黑，否则以邪正为异。这就是规定正数用红色算筹，负数用黑色算筹。如果只有同色算筹的话，则遇到正数将筹正放，负数时邪放。宋代以后出现笔算也相应地用红、黑色数码字以区别正、,负数，或在个位数上记斜划以表示负数，如，后来这种包括负数写法在内的中国数码字还传到日本。

关于正、负数的加减运算法则，正负术曰：同名相益，异名相除，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。这里所说的同名、异名分别相当于所说的同号、异号。相益、相除是指二数相加、相减。术文前四句是减法运算法则：

如果被减数绝对值大于减数绝对值，即a>b≥0，

则同名相益：-=±，

异名相除：-=±。

如果被减数绝对值小于减数绝对值，即b>a≥0。

①如果两数皆正

则a-b=a-[a+

中间一式的a和a对消，而无可对消，则改正为负，即正无入负之。无入就是无对，也就是无可对消。

②如果两数皆负

则-=－a-[-

③如果两数一正一负。则仍同的异名相益。

术文的后四句是指正负数加法运算法则。

同号两数相加，即同名相益，其和的绝对值等于两数绝对值和。

如果a>0，b>0，

则a+b=a+b，+=-

异号两数相加，实为相减，即异名相除。如果正数的绝对值较大，其和为正，即正无入正之。如果负数的绝对值较大，其和为负，即负无入负之。用符号表示为

①如果a>b≥0，

则 a+=[b+

或 +b=[－

②如果b>a≥0，

则 a+=a+[-

或 +b=+[a+

关于正负数的乘除法则，在《九章算术》时代或许会遇到有关正负数的乘除运算。可惜书中并未论及，直到元代朱世杰于《算学启蒙》中才有明确的记载：同名相乘为正，异名相乘为负，同名相除所得为正，异名相除所得为负，因此至迟于13世纪末我国对有理数四则运算法则已经全面作了总结。至于正负数概念的引入，正负数加减运算法则的形成的历史记录，我国更是遥遥领先。国外首先承认负数的是七世纪印度数学家婆罗门岌多欧洲到16世纪才承认负数。